某地人民法院于2002年5月10日审理了一起故意伤害案,一审判处被告人某甲有期徒刑五年,判决宣告后,某甲没有当庭表示上诉。五日后,某甲突发脑血栓,陷入昏迷,被送入医院救治,直到2002年8月30日才痊愈。9月10日,某甲向法院提出由于其在上诉期内突患重病,符合刑事诉讼法的相关规定,故向人民法院提出要求延展诉讼期限。人民法院对某甲提出的延展上诉期限的申请,应该如何处理?